[問題]天山 09-16

[GMAT]

If n is a postive integer and r is the remainder when (n-1)(n+1) is divided by 24,what is the vaule of r?
(1) 2 is not a factor of n.
(2) 3 is not a factor of n.

答案:C

請問這要怎算?

[田君豪]

看完題目要注意以下兩點：
1.remainder可以是小於24的任何整數，當然也包含0囉(即餘數為0)
2.24分解後為2的三次方乘以3

接下來看(1)和(2)：

(1)n不是偶數∴1、3 、5、7、9…皆可能，
若n為1，remainder為0；若n為3，remainder為8 =>無法確定r

(2)n不是3的倍數∴1、2、4、5、7、8…皆可能
同上步驟，n=1或2時，remainder一定不同 =>亦無法確定r

(1)+(2)：n既不是偶數也不是3的倍數∴n是不含3之倍數的奇數
接下比較麻煩一點，首先n=1時，remainder為0
另外，當n為奇數時(除了1以外∵上一行已經討論N=1，remainder會=0囉)，(n-1)(n+1)必定含有3個(含)以上的2
∴分母24裡"2的三次方"一定可被分子抵消
∴接下來，現在分母24只剩"3"這個因數囉
而當n是不含3之倍數的奇數時，(n-1)(n+1)也必定含有3的因數
為什麼?我先列出一串奇數(n=1還是不討論)
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21......

你會發現扣除紅色的數後(即5、7、11、13、17、19....)
這些剩下的數不論是加1還是減1後都會產生含有"3"因數的數
ex.5+1和7-1都會變成6…含3的因數；11+1和13-1都會變成12…含3的因數

∴(1)+(2)可以很明確的確定remainder必為0，即r=0
選(C)

不好意思…我好像打太多了 如果有比較簡單的想法，請多指教囉^^

[superruby]

不會打太多呀!對想像力不充分的我而言很清楚,感謝田兄.