PP-T1-DS131

[smilego]

131. 13306-!-item-!-187;#058&009213
The positive integer k has exactly two positive prime factors, 3 and 7. If k has a total of 6 positive factors, including 1 and k, what is the value of k ?

(1) 3平方 is a factor of k.

(2) 7平方 is not a factor of k.

請求這題的思路,謝謝

[amazingslim]

這題答案為(D)

(1) 3平方 is a factor of k.
由條件得知k's positive factors:1,3,7,9,21,k
k=63

(2) 7平方 is not a factor of k.
k有6個positive factors,且只有3,7兩個質因子
表示k可因式分解為3平方*7or 3*7平方(note)
此條件排除了第二個可能，所以k=63

note:
這是我在yahoo知識+ 搜尋到的定理，參考看看吧
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/ ... 5062101120
對任意正整數 n，先定義因子個數函數 τ(n)。可以證明 τ 是一個 multiplicative 函數，意思是說 τ(mn) = τ(m)τ(n)。而對於質數 p，很明顯我們有：τ(p^r) = (r + 1)。

舉例：用這公式算一下 90 的因子個數，τ(90) = τ[(2)(3)^2(5)] = τ(2)τ(3^2)τ(5) = (2)(3)(2) = 12

[smilego]

謝謝 :)

[Huang Hsin-Yi]

這題答案為(D)

(1) 3平方 is a factor of k.
由條件得知k's positive factors:1,3,7,9,21,k
k=63

(2) 7平方 is not a factor of k.
k有6個positive factors,且只有3,7兩個質因子
表示k可因式分解為3平方*7or 3*7平方(note)
此條件排除了第二個可能，所以k=63

note:
這是我在yahoo知識+ 搜尋到的定理，參考看看吧
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/ ... 5062101120
對任意正整數 n，先定義因子個數函數 τ(n)。可以證明 τ 是一個 multiplicative 函數，意思是說 τ(mn) = τ(m)τ(n)。而對於質數 p，很明顯我們有：τ(p^r) = (r + 1)。

舉例：用這公式算一下 90 的因子個數，τ(90) = τ[(2)(3)^2(5)] = τ(2)τ(3^2)τ(5) = (2)(3)(2) = 12

誰來救救我,我~~~~~有看沒有懂

[Huang Hsin-Yi]

再頂一下

[christinehsu]

請問你是哪一個部份不懂!?
如果是因子數的部份的話，我記得，還有另一個求因子數的方法就是看指數。
以90為例。
90=2^1*3^2*5^1. 因子數為 (1+1)(2+1)(1+1)=12
再舉120為例
120=2^3*3^1*5^1 因子個數為 (3+1)(1+1)(1+1)=16
這裡的概念有排列組合的想法在裡面

[Huang Hsin-Yi]

我終於弄懂了,感謝sunnyblue&christinehsu大

求 factors 數量公式為,將數字化為prime factors的乘積
如90=2^1*3^2*5^1. 因子數為 τ(p^r) = (r + 1)--> (1+1)(2+1)(1+1)=12 個

題目說3^x*7^y,共6個因子
因此(x+1)(y+1)=6,則共有(2,3)(3.2)-->(x,y)有(1,2)(2,1)的組合
所以3^1,3^2,7^2,7^1的互相乘積皆是可能factors

(1)3^2 is factor
therefore 1,3,9,49,7,147,21,441,63取最小6個------1,3,7,9,21,63.........sufficient

(2)7^2 is not factor
therefore 1,3,9,7,21,63......................................................................sufficient

呼,終於懂了