10月-11月 數學討論題 [1-30]

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版主: shpassion, Traver0818

10月-11月 數學討論題 [1-30]

文章yuyutseng » 2009-10-23 17:37

逛到CD 網站上面看到這個月的數學重點出來了, 摘錄了部份下來
由於目前還沒有解答, 所以如果我的答案如果有錯還請指正, 之後更新的部份會另外標明日期

1、數學一個正方形 裏面加上三橫四還是五豎(等分) 做下角是A 右上角是B 只能想北走或者向東走 A 到B 有多少種走法 ?
答案裏有256、512其他都不是2的次方

: 因為只能向上或是向右,所以走到每一個點的走法其實就等於向左過來的或是向上過來的
把圖畫出來, 最左下角A 寫上0, 把左邊和下面邊界每個交點寫上1, 之後每一點的走法就是把此點下方和左方的走法相加
利用加法就可以把右上B 的走法算出來了 ( 請參考M-1.jpg)
( 不過走法不一定都是2的次方就是)

2. 一共18**個球,一次掉6個,下面的盒子p q r s t u 迴圈,問最後一個球掉在哪個盒子裏
: 把1800/6 得到餘數, 看餘數多少對應到 pqrstu ,應該就可以知道了

3. 兩個人畫牆,一個小時,甲完成百分之x,乙完場百分之y,甲先畫t個小時,然後兩個人一起多久可以畫完,兩個條件不記得了,但是這個題很簡單
甲一小時X%, 乙 Y%, 所以甲和乙一小時完成 (X+Y)%
甲先畫 t小時, 所以共完成了 t *X %, 剩下 1- t*X% 由甲和乙一起畫, 需要 (1-t*X%)/(X%+Y%)

4. 0.998乘以根號99.14**乘以根號9.** 一起除以根號0.998 問大約等於多少 選項有30 80
[0.998 * (99.14**)^1/2 * (9.** )^1/2] / ( 0.998 )^1/2 , 若抓最接近的完全平方數
~~ [1 * (100)^1/2 * (9)^1/2 ]/ ( 1 )^1/2 = 1 * 10 * 3 / 1 = 30

5. 一個線段由字母表示的點平分,2的11次方 和2的12次方在兩個點上,中間有一個點,問2的13次方在哪個點
2^13 是 2*2^12 是 4*2^11, 可能要看圖上是怎樣分隔的再依比例找 2^13了

6. 坐標系中有兩個圓一大一小,半徑分別4,6。兩個圓相外切並與x軸相切(小圓在大圓左邊,就是x軸托著兩個圓,兩圓在Y軸右邊不與Y軸相切。),題裏給圖了,比我描述的一目了然多了。。一直線過兩圓圓心,問此直線斜率,(補充:小圓在大圓左邊,x軸托著他倆 在y軸右邊,不與Y軸相切)
(10-24) 這題的思考方式, 畫出以兩圓心為兩頂點, 兩圓心連線為斜邊的直角三角形, 斜邊為4+6=10, 兩圓心的距離為 6-4=2, 求得另一邊為 根號(96), 斜率原始定義是 diff(y)/diff(x), 所以代入 2/根號(67) (/10-24)

7. x,y,z分別是1,2,3, 那麼yz,yx, xz(3個兩位數),他們和的最大值是多少。
y是3 x是2 z是1 結果84
(10-24) 十位數越大和也會越大, 因為三個兩位數中有兩個以y 當十位數 , 一個以x當十位數,
故讓 y=3, x=2 , z=1 會讓此三位數最大, 三位數分別為 31,32,21,相加就是84 (/10-24)


8. 五個盒子,按順序顏色是紅,綠,黃,藍,紅,白……(顏色具體是不是這個記不清了,但是可以確定5個中間有兩個紅色。其他幾個顏色都不相同)。每個盒子裏至少有5個顏色和盒子相同的球,一個小孩隨即從這些盒子裏抽出5個球,問這些球的顏色是所有可能的顏色組合的多少分之一
版本二:有red, yellow, green and blue四種顏色的盒子。現在一排有五個位置,每個位置可以放任一種顏色的盒子,圖中給出了一種放法,問出現這種方法的概率。
兩個版本的題目都看不太懂, 再看看有沒有後續的補充

9. 150miles的路程,一個人先用50miles每小時的速度開過去,問開回來的時候速度是多少,才能讓他的平均速度達到60miles每小時
150*2/60 = 150/50 + 150/X , X = 75

10. 、一段300 miles的路程,如果某人用20 miles less than normal speed走,要多用45minutes,問這個人的normal speed是多少miles/hour 答案有80,90,100,110,120. 我的時間來不及了,直接代入 選120。[ 正確答案是100 300/x=300(x-20)+0.75]
作者的答案和後面的列式都有誤, 300/x = 300/(x-20) - 0.75, x 是 100 才對
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Re: 10月-11月 數學討論題

文章mikelee » 2009-10-24 09:40

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Re: 10月-11月 數學討論題

文章yuyutseng » 2009-10-24 18:25

CD 上面的人已經有把這個月的討論題解答寫出來了, 有興趣的人可以上去參考一下
底下的解是我的解, 有問題的話大家可以討論.


11. 一個大正方形,邊長4x,裏面有5個小正方形,邊長x,小正方形塗上了陰影。問陰影部分與剩下的面積之比。
解: 陰影部份 5X^2, 全部面積 (4X)^2 = 16X^2 , 所以剩下來的部份是 16X^2-5X^2 = 11X^2
陰影: 剩下來面積 = 5X^2 : 11X^2 = 5:11

12. 一個等邊三角形內接與一個半徑是2的圓,求這個三角形的周長
解: 圓頂點與三角形底邊兩頂點相連, 可以得底角為30度的等腰三角形, 且圓心與底邊的垂直連線會平分底邊
因此半徑2 可以視為30-60-90直角三角形中30 度對的邊, 故底邊成 2*2*根號三
周長再乘以三就是 12根號3

13. {1,4,6, b, e} be不為0整數,五個數位中選2個組成兩位數,重複的有25個,不重複的20個,不重複的這20個兩位數的和為1056=44x24,求b+e的值
解: 先從不重複的著手, C(5,2) 共有10種取法, 每一種取出來可以還可以個位十位互換, 而個位十位互換後的兩數相加一定是11的倍數
取法共, 1-4,1-6,4-6,1-b,1-e,4-b,4-e,6-b,6-e,b-e
得出的兩位數共 14,41,16,61,46,64+[(10+b)+(10b+1)]+[(10+e)+(10e+1)]+[(40+b)+(10b+4)]+[(40+e)+(10e+4)]+[(60+b)+(10b+6)]+[(60+e)+(10e+6)]
+[(10b+e)+(10e+b)] = 1056
化簡上面的式子 5*11+7*11+10*11+(b+1)*11+(e+1)*11+(b+4)*11+(e+4)*11+(b+6)*11+(e+6)*11+11*(b+e) = 44*24 = 11*96
96 = 5+7+10+b+1+e+1+b+4+e+4+b+6+e+6+b+e = 44 + (b+e)*4 => b+e = 13
( 這題真是複雜, 考試時一緊張可能會算錯...)

14. 有10個friends, 他們組成了5對couples, 要把他們5對couples安排到一個row,並且保證每個人的旁邊都坐著his or her spouse.問總共有多少種坐法?
解: 把是couple的綁在一起排, 所以共有五組couple可以排, 所以為5!, 但是一組couple彼此可以換位置
所以總共應該是5! * 2^5 = 3840

15. 4的8次方乘以5的17次方,問所得數是幾位數。(次方數記得不太清楚了)
解: 這種題的解法應該是把4換成2的次方數, 然後拿2和5來配, 每一組可以配的就是多一位數
4^8 * 5^17 = 2^16 * 5^17 = (2*5)^16 * 5 = 5*2^16 , 所以應該有17位

16. 690,k70, k為某數字,問這個6位元數肯定不能被以下哪個整除. a.2; b.4; c.5; d.7…
解: 2,5看最後一位 ( 可整除 ), 4 看最後兩位, 70 因為不能被4整除, 所以不論K是什麼都一定會有餘數,答案是 B ;

17. 三個相同的圓,兩邊的圓交於中間圓的圓心,半徑為1,求這個圖形外部周長
解: 兩邊圓相交於中間圓心, 中間圓心的弧會被切成120-120-60-60四段弧
三個圓的弧長 2*pi*1*3
左右圓有1/3(120度) 弧不算邊長, 2pi*2/3
中間圓有2/3(240度) 弧不算邊長, 2pi*2/3
所以周長就是全部減掉不算邊長的, 6pi-4/3pi-4/3pi=10/3 pi

18.DS, 2x-y>0?
1) y<0
2) x<y
解: 1) y<0, 2x-y 未知, 不充份
2) x<y, 2x<y 未定, 不充份
1)+2), y<0, x<y => x<0, 且 2x<y, 故 2x-y > 0 充份 (C)

19. 是說一種套餐還是啥東東,裏面的搭配可以從2個A中選一個,從8個B中選2個,從3個C中選1個組成該套餐。只有當兩份套餐中的A,B,C完全相同時才算做兩份套餐一樣。問如果一個人點兩份套餐,那麼這兩份套餐不同的搭配有多少種?
解: 第一個人 C(2,1)*C(8,2)*C(3,1)
想要不一樣那第二個人就要選不一樣的, 就剩 C(1,1)*C(6,2)*C(2,1)
兩個相乘應該就是了

20. DS 有40同學學習French, 30個學Spanish,20個選Chinese,問有多少人exactly 學2門語言:
1) 有5個人學3門語言
2) 52 students study at least one of the three languages.
這個題目也想了很久,在C和E之間糾結。最後選C.因為覺得52是全集。
解: 40+30+20 = 90, 90 = 單學一樣 + 2 ( 學兩樣) + 3 (學三樣的), 求學兩樣的有多少 ?
1) 5 人學3種 => 求不出答案, not sufficient
2) 52 至少學一樣, 單學一樣 + 學兩樣 + 學三樣的 = 52, => not sufficient
1)+2) 90-52 = 學兩樣 + 2(學三樣) = 學兩樣 + 10 => 學兩樣 = 28 => siffcient (C)
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Re: 10月-11月 數學討論題

文章yuyutseng » 2009-10-25 17:21

21. 幾何題目,圖弄了半天不來賽,大家湊合著看吧,一個圓內切於一個直角等腰ABC三角形內,BE過圓心,而且垂直於斜邊,圓的半徑為1,求BE的長度。不難。解: BE 過圓心且垂直於斜邊, BE=BO+OE ( OE 為半徑 =1 )
從O 往BC 和AB 兩短邊各畫垂直線, 可以得到一邊長為1 的正方形, BO 是其斜邊, 長度為根號2
故BE = 根號2 + 1

22. 0.01%*75= ?
解: 0.01% * 75 = 10^(-2) * 10^(-2) * 75 = 7.5 * 10^(-3) ( % 常會不小心漏掉, 考試時要注意)

23. A比B的成本單價貴30,生產AB分別100個要15500刀。賣出價比成本多60%,問:AB的賣出價為多少?
解: 設 B=x, A=x+30
生產AB 各100 個要15500, 所以生產AB 各1的要155 = 2x+30, x = 62.5
B 成本 62.5, 賣出價 62.5*1.6 = 100
A 成本 92.5 , 賣出價 92.5*1.6 = 148

24. 有4個軟皮本6個硬皮本,從這10個本子中拿出5個,問拿出至少一個軟皮本一個硬皮本的概率?
解: 至少一個軟皮一個硬皮, 機率就是 1 - 全軟皮 - 全硬皮 , 但因為軟皮只有4個, 所以全軟皮一定會搭配一個硬皮
所以機率只剩 1 - 全硬皮
1 - C(6,5)/C(10,5) = 1 - 6/252 = 246/252 = 123/126 = 41/42

25. 一列數,每一個的後一個都是前一個的平方的4倍。t是第一個數,為t後面的第三個數是多少?
解: 此數列可以寫成 t, 4*t^2 [=4t^2], 4*(4*t^2)^2 [=64t^4], 4*(4*(4*t^2)^2)^2 [ 4*(64t^4)^2]

26. N=9!*6^4, 3^k是N的一個因數,問K能取的最大值
解: 9! 裡面 9*8*7*6*5*4*3*2*1 裡面有4 個3的因子
6^4 = (3*2)^4 有4個3的因子
所以 K 最大是 4+4=8

27. 27、DS:X^2-Y^2>0
(1)(x-y)^2=1
(2)y=4
版本二:(x^2-y^2)>(x-y)? (1)x-y>0 (2)x+y<0
解: 兩版題目差好多, 不過看到 x^2-y^2 ,就先化成 (x+y)(x-y) 再做運算處理
版本 1 1) (x-y)^2 = 1, x-y 可能為 正負1, x可能>y 也可能 <y 不充份
2) y =4 不充份
1)+2) y=4 下, x=5 或x=3, 無法確定 x^2-y^2 是不是>0 => (E)

28. 個人買東西的時候總會把東西的價格約算為1刀,問他這次買的東西有沒有6刀?
(1)買的東西不超過11個。
(2)每個價格不超過5.5刀。
解: 1) 不超過 11 個, 但價錢未知, 不充份
2) 不超過 5.5 個, 但數量未知, 不充份
1)+2) 若取極限, 買了11個, 每個剛好 5.5萬, 得到 6.05萬, 因此所買的東西價錢 < 6.05萬, 無法判斷是否有6萬 所以也是不充份 => (E)

29. 大概是8%的ore 和3%的ore混合吧,問300ton的6%的ore裏有多少ton是8%的。(沒時間了,瞎選的)答案裏有一個180。
解: 設 8% X, 3% Y,
0.08X + 0.03Y = 300 * 0.06 = 18
X+Y = 300
解聯立方程式 X=180

30. 說有幾個人溜冰,先成line…然後以最後一個人為圓心旋轉,當時沒看懂revolve這個詞。。還比擬描述了一下說像個clock face啥的。(我理解的)還給了A離圓心5,B離圓心10,問B比A大約多走了多少。若是能讀懂不難做,應該是比較周長吧~答案都是整數,我選的30.
解: 如果題目沒錯, 2*10*3.14 - 2*5*3.14 ~~ 10*3.14 = 31.4
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