GWD 07-36

[bear]

Q36:
If a and b are positive integers such that a – b and a/b are both even integers, which of the following must be an odd integer?

A. a/2
B. b/2
C. (a+b)/2
D. (a+2)/2
E . (b+2)/2

答案D

我部會算耶....我算來算去ab都是偶數, 沒有答案 :-S

誰來救救我阿??

[illuna]

因為題目說明 a-b 為偶數==>可推得 a 和 b 都是偶數....

故假設 a = 2m , b = 2n.......( m, n 都是正整數...但是是奇數還是偶數不清楚)

又題目另一條件說明 a/b 為偶數....假設 a/b = 2s

可得a/b = (2m)/(2n) = 2s ==> m/n = 2s ==> m = 2ns (可得m必為偶數...但 n 仍不確定為偶數或奇數)

答案A....a/2 = (2m)/2 = m = 2ns = 偶數 (錯)

答案B....b/2 = (2n)/2 = n = 有可能奇數或偶數(錯)

答案C....(a+b)/2 = (2m+2n)/2 = 2(m+n)/2 = m+n = 偶數+奇數或偶數 = 奇數或偶數(錯)

答案D....(a+2)/2 = (2m+2)/2 = 2(m+1)/2 = m+1 = 2ns + 1 = 鐵定為奇數(正確)

答案E....(b+2)/2 = (2n+2)/2 = 2(n+1)/2 = n+1 = 奇數或偶數+1 = 偶數或奇數(錯)

[asicschu]

感謝解題唷!! :)

[Quinton]

哇∼感謝天才大大的解題啊！！
我是新手∼第一次來看題
不會每一題都這麼天才吧？！
阿度仔的邏輯真是...
難怪AT的成績都是印度人比較高∼他們的數學本來就比較高深！

[Jessy]

[quote="illuna"]因為題目說明 a-b 為偶數==>可推得 a 和 b 都是偶數....

可我覺得光從a-b為偶數並不能推a跟b都是偶數吧
只能知道a跟b同為奇數或是同為偶數
而在配合a/b為偶數的條件後,才能確定a跟b都是偶數 8-|

[魚]

因為題目說明 a-b 為偶數==>可推得 a 和 b 都是偶數....

可我覺得光從a-b為偶數並不能推a跟b都是偶數吧
只能知道a跟b同為奇數或是同為偶數
而在配合a/b為偶數的條件後,才能確定a跟b都是偶數 8-|

沒錯

" a – b and a/b are both even integers"==>才能確定a跟b都是偶數

大哥應該也是這樣得出滴 ^^

[hoojjj]

外新人的邏輯
但我反推回去...怎麼覺得D跟E是一樣的
百思不解

[liwuu]

外新人的邏輯
但我反推回去...怎麼覺得D跟E是一樣的
百思不解

不太清楚你所謂反推回去D和E一樣的意思?!可以再說明一下嗎...
根據上面大大的解答,由D確定為奇數而E則無法確定!!

[Winni]

不好意思 想請教一下
依照題目所說a-b=偶數 及 a/b=偶數
可得知a,b 皆偶
在這情況下
D.(a+2)/2 跟
E. (b+2)/2
答案應該都是偶數 不是嗎?

不知道是哪個環節沒考慮到
還麻煩大家指導一下><

[65kevin]

a,b 皆為偶數沒錯, 但因為 a/b 也為偶數, 假設 a = 2P, b = 2R, P和 R都為正整數, 2P/2R = 2K, P/R = 2K, 可確定 P 也是偶數, 所以 a 必定為 2 的偶數倍, b 則不一定, 有可能是2的奇數倍或偶數倍, (D)選項中的 (a+2)/2 可看成 (a/2) + 1, a 為 2 的偶數倍, 則 a/2 必為偶數, 加上 1 之後必為奇數

[chihhan123]

因為題目說明 a-b 為偶數==>可推得 a 和 b 都是偶數....

可我覺得光從a-b為偶數並不能推a跟b都是偶數吧
只能知道a跟b同為奇數或是同為偶數
而在配合a/b為偶數的條件後,才能確定a跟b都是偶數 8-|

沒錯

" a – b and a/b are both even integers"==>才能確定a跟b都是偶數

大哥應該也是這樣得出滴 ^^

依題目:
a/b 為偶數 a/b = 2n → a = 2nb (n為任意整數)
a-b 要為偶數 → a-b = 2nb - b = b (2n-1)
因為2n-1必為奇數，所以b必為偶數，令b=2m (m為任意整數)

A. a/2 → 2nb/2 = 2n(2m)/2= 2mn →必為偶數 → 不必為奇數 →不是正確答案

B. b/2 → 2m/2 = m → m為任意整數(可為奇數也可為偶數) → 不必為奇數 →不是正確答案

C. (a+b)/2 → (2nb + b)/2 = b(2n+1)/2 = 2m(2n+1)/2 = m *(奇數) →因為m為任意整數 →其結果不必為奇數 →不是正確答案

D. (a+2)/2 → (2nb+2)/2 → (2nb/2 )+(1)→ nb + 1 → n(2m) +1 → 2mn +1 → 2mn(必為偶數) +1 → 必為奇數 →正確答案

E. (b+2)/2 → (2m+2)/2 → m+1 →m為任意整數(可為奇數也可為偶數)+1 → 不必為奇數 →不是正確答案

Ans: (D) 正確

[HCA]

1. a – b 和 a/b 都是偶數 -> a, b 都是偶數 (請參照前人推法)

2. a/b = n 是偶數 a = b (有 2 的因數) * n (有 2 的因數)
a 必為 4 的倍數
D. (a+2)/2 = a/2 + 1 = 偶數 + 1 -> 必為奇數

[hahadog]

當初我也在D和E的選項選不出來

後來想到，在前面的條件下，也就是知道a b皆為偶數
而a-b也要偶數 則a一定是大於2的偶數

而D還有E 除了a, b 為2的情況下 則都會為奇數，所以得D

[SELVICHY]

[quote="HCA"]1. a – b 和 a/b 都是偶數 -> a, b 都是偶數 (請參照前人推法)

2. a/b = n 是偶數 a = b (有 2 的因數) * n (有 2 的因數)
[color=red]a 必為 4 的倍數 [/color]
D. (a+2)/2 = a/2 + 1 = 偶數 + 1 -> 必為奇數[/quote]

-----------------------------------------
長篇累贅地討論了半天,上面所述a為4的倍數這才是重點,
不知大家覺悟了沒?
由a – b 和 a/b得知a與b皆為偶數,初步假設a=2m,b=2n
所以a-b=2(m-n)
但是a/b=m/n,無法確定是否為偶數
怎麼辦呢?
請將a設為4m,問題則迎刃而解
a-b=2(2m-n)
a/b=2(m/n)
兩個條件皆成立,故知a為4的倍數
(D)(4M+2)/2無論代入何數,必為奇數

[ktc]

1. a – b 和 a/b 都是偶數 -> a, b 都是偶數 (請參照前人推法)

2. a/b = n 是偶數 a = b (有 2 的因數) * n (有 2 的因數)
a 必為 4 的倍數
D. (a+2)/2 = a/2 + 1 = 偶數 + 1 -> 必為奇數

-----------------------------------------
長篇累贅地討論了半天,上面所述a為4的倍數這才是重點,
不知大家覺悟了沒?
由a – b 和 a/b得知a與b皆為偶數,初步假設a=2m,b=2n
所以a-b=2(m-n)
但是a/b=m/n,無法確定是否為偶數
怎麼辦呢?
請將a設為4m,問題則迎刃而解
a-b=2(2m-n)
a/b=2(m/n)
兩個條件皆成立,故知a為4的倍數
(D)(4M+2)/2無論代入何數,必為奇數

got it!!!
原來只要幾行話
thank you