[問題]某個數列合的公式

[coulomb]

可以請教一下這個是怎麼推導出來的嗎？
感謝∼∼

[michelle610]

240. 1+2^2+…+n^2=4的倍数，问N可能等于多少？[ 作者答案及思路：15（选项有9，10，12，14，15）]

題外話
如果是這一題的話 我記得之前有看到過CD還是版上的大大們討論過
這題的想法是

(1)凡是偶數的平方數都會是4的倍數 所以偶數不用考慮

(2)如此就只要看剩下來奇數平方和的部分 如果奇數平方和的部分也會是4的倍數的
話 那麼此平方和數列就會是4的倍數

(3)我用一個笨方法 就是直接把答案帶入去算 除了15以外都不行 故答案是"15"

[enim]

240. 1+2^2+…+n^2=4的倍数，问N可能等于多少？[ 作者答案及思路：15（选项有9，10，12，14，15）]

題外話
如果是這一題的話 我記得之前有看到過CD還是版上的大大們討論過
這題的想法是

(1)凡是偶數的平方數都會是4的倍數 所以偶數不用考慮

(2)如此就只要看剩下來奇數平方和的部分 如果奇數平方和的部分也會是4的倍數的
話 那麼此平方和數列就會是4的倍數

(3)我用一個笨方法 就是直接把答案帶入去算 除了15以外都不行 故答案是"15"

不太懂這句話的意思耶...可以請大大解釋一下嗎？ 謝謝

[fcgoe]

之所以會直接提問，就是有看到兩種答案：
n(n+1)(2n+1)/6
n(n+1)(2n-1)/6

很巧，cheyen跟zazer.lin提供的答案就是
上面各一種。不知有沒有人知道如何推導的？
感恩呀∼

[65kevin]

公式是 n(n+1)(2n+1)/6, 這個公式的推導方法好像滿多種的, 我想到一種, 提供參考
利用 K^3 -(K-1)^3 = 3K^2-3K+1 這個等式, 令1^2 + 2^2 + 3^2 + .... + n^2 = S
1^3 - 0^3 = 3*(1)^2 - 3(1) + 1
2^3 - 1^3 = 3*(2)^2 - 3(2) + 1
.....
n^3 - (n-1)^3 = 3*(n)^2 - 3(n) + 1

將上面等號左邊的部份全部相加, 可得 n^3
等號右邊的部份全部相加, 可得 3*(1^2+2^2+3^2+.....+n^2) - 3(1+2+3...+n) + 1*n
兩邊相等, 可得 n^3 = 3*S(所求) - 3 * n(n+1)/2 + n
=> 3S = n^3 + 3n(n+1)/2 - n = (2n^3+3n^2+n)/2
將之因式分解可得 S = n(n+1)(2n+1)/6

[michelle610]

to enim

不太懂這句話的意思耶...可以請大大解釋一下嗎？

------>把數字列出來 然後自己平方加加看 你就會懂了

[fcgoe]

謝謝數學牛人們的回覆！